Question

【题目】如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC．

（1）求证：EC是圆O的切线；

（2）当∠ABC=22.5°时，连接CF．

①求证：AC=CF；

②若AD=1，求线段FG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②2．

【解析】

（1）连接OC，证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）①通过证得∠AOC=45°=∠COF=45°，得出弧AC=弧CF，即可证得AC=CF；
②作CM⊥OE于M，首先证得CF=CG，得出CM垂直平分FG，然后通过三角形平分线的性质证得CM=CD，即可证得Rt△ACD≌Rt△FCM，从而证得FM=AD=1，即可证得FG=2FM=2．

（1）证明：连接OC，
∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B=90°，
∵EG=EC，
∴∠ECG=∠EGC，
∵∠EGC=∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG=∠B+∠OGB=90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圆O的切线；
（2）①证明：∵∠ABC=22.5°，∠OCB=∠B，
∴∠AOC=45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF=45°，
∴弧AC=弧CF，
∴AC=CF；
②解：作CM⊥OE于M，

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°
∵∠ABC=22.5°，∠GOB=90°，
∴∠A=∠OGB=∠67.5°，
∴∠FGC=67.5°，
∵∠COF=45°，OC=OF，
∴∠OFC=∠OCF=67.5°，
∴∠GFC=∠FGC，
∴CF=CG，
∴FM=GM，
∵∠AOC=∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD=DM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中

∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），
∴FM=AD=1，
∴FG=2FM=2．