Question

【题目】如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．

解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）因为直径，则

∵，

∴OB=3

∴，

∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B

∴△DBF∽△ABD

∴

∴

所以．