Question

21、如图所示，正方形ABCD的BC边上有一点E，∠DAE的平分线交CD于F，试用旋转的思想方法说明AE=DF+BE．

Answer 1

分析：先通过旋转把△ADF顺时针旋转90°得△ABF′，从而利用旋转的性质可知∠1=∠2=∠3，∠AFD=∠FAB，所以通过等量代换可知∠F′AE=∠F′，从而得到FE=AE，即EA=EF′=DF+BE．

解答：解：如右图所示，将△ADF顺时针旋转90°得△ABF′；
则有∠3=∠1，∠AFD=∠F′，F′B=FD，（3分）
∵∠F′AE=∠3+∠BAE，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴∠AFD=∠FAB，（4分）
∵∠FAB=∠2+∠BAE，
∴∠AFD=∠2+∠BAE，
又∵∠DAE的平分线交CD于F，（5分）
∴∠1=∠2，（6分）
∴∠3=∠2，
∴∠AFD=∠3+∠BAE，
∴∠F′=∠3+∠BAE，（7分）
∴∠F′AE=∠F′，
∴EA=EF′=DF+BE．（9分）

点评：主要考查了角平分线的定义和旋转的性质，解题的关键是知道旋转后的图形与原来的图形全等．