Question

11．如图1，在△ABC中，AD⊥BC，并且有AB²-AC²=AD²．
（1）证明：tanB=sinC；
（2）若∠BAC=90°，证明：$\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{B{D}^{2}}=\frac{1}{A{D}^{2}}$；
（3）如图2，若AB=BC，过点D作DE∥AC交AB于点E，求DE与DC的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）首先根据AB²-AC²=AD²，可得AB²-AD²=AC²；然后在Rt△ABD中，由勾股定理，可得AB²-AD²=BD²，据此推得AC=BD；最后根据tanB=$\frac{AD}{BD}$，sinC=$\frac{AD}{AC}$，推得tanB=sinC即可．
（2）首先在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB²+AC²=BC²；然后根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB．AC=$\frac{1}{2}$BC．AD，推得AB．AC=BC．AD，再根据AC=BD，推得$\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{B{D}^{2}}=\frac{1}{A{D}^{2}}$即可．
（3）猜想DE与DC的数量关系是：DE=2DC．首先过点B作∠ABC的平分线交DE于点F，根据相似三角形判定的方法，判断出△BDE∽△BCA，即可推得$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$；然后根据AB=BC，可得BD=BE，再根据BF是∠ABC的平分线，可得BF⊥DE，所以DE=2DF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△BDF≌△ACD，即可推得DF=DC，据此判断出DE=2DC即可．

解答 （1）证明：如图1，，
∵AB²-AC²=AD²，
∴AB²-AD²=AC²，
在Rt△ABD中，
AB²-AD²=BD²，
∴AC=BD，
又∴tanB=$\frac{AD}{BD}$，sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴tanB=sinC．

（2）证明：如图2，，
∵∠BAC=90°，
∴AB²+AC²=BC²，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB．AC=$\frac{1}{2}$BC．AD，
∴AB．AC=BC．AD，
由（1），可得
AC=BD，
∴$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{BD}^{2}}$
=$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{AC}^{2}}$
=$\frac{{AB}^{2}{+AC}^{2}}{{AB}^{2}{•AC}^{2}}$
=$\frac{{BC}^{2}}{{AB}^{2}{•AC}^{2}}$
=$\frac{{BC}^{2}}{{BC}^{2}{•AD}^{2}}$
=$\frac{1}{{AD}^{2}}$
∴$\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{B{D}^{2}}=\frac{1}{A{D}^{2}}$．

（3）解：猜想DE与DC的数量关系是：DE=2DC．
证明：如图3，过点B作∠ABC的平分线交DE于点F，，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠C，
在△BDE和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠C}\\{∠DBE=∠CBA}\end{array}\right.$
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
∵AB=BC，
∴BD=BE．
又∵BF是∠ABC的平分线，
∴BF⊥DE，
∴DE=2DF，
由（1），可得AC=BD，
在△BDF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ACD}\\{∠BFD=∠ADC}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△ACD，
∴DF=DC，
又∵DE=2DF，
∴DE=2DC．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．