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8.如图,平面直角坐标系中,O为坐标原点,正方形OABC的定点A,B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k>0,x>0)的图象上,边BC与x轴交于点D,则$\frac{BD}{CD}$的值为(  )
A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

分析 过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,BG⊥AE于G,于是得到EF=BG,BF=GE,根据正方形的性质得到OA=AB,∠OAB=90°,根据余角的性质得到∠OAE=∠ABG,根据全等三角形的性质得到AG=OE,AE=BG,设A(a,$\frac{k}{a}$),得到OE=AG=a,AE=BG=$\frac{k}{a}$,求得B($\frac{k}{a}$+a,$\frac{k}{a}$-a),得方程求得k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a2(负值舍去),过C作CH⊥x轴于H,根据相似三角形的性质即可得到结论.

解答 解:过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,BG⊥AE于G,
则EF=BG,BF=GE,
∵四边形OABC是正方形,
∴OA=AB,∠OAB=90°,
∴∠OAE+∠BAE=∠BAE+∠ABG=90°,
∴∠OAE=∠ABG,
在△AOE与△BAG中,$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠ABG}\\{∠AEO=∠AGB}\\{OA=AB}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△BAG,
∴AG=OE,AE=BG,
设A(a,$\frac{k}{a}$),
∴OE=AG=a,AE=BG=$\frac{k}{a}$,
∴B($\frac{k}{a}$+a,$\frac{k}{a}$-a),
∴($\frac{k}{a}$+a)($\frac{k}{a}$-a)=k,
解得k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a2(负值舍去),
∴B点的纵坐标为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$,
BF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a,
过C作CH⊥x轴于H,
同理△AOE≌△OCH,
∴CH=OE=a,
∵CH⊥x轴,BF⊥x轴,
∴CH∥BF,
∴△BFD∽△CHD,
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BF}{CH}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
故选D.

点评 本题考查了反比例函数的系数k的几何意义,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

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