Question

13．已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且∠1=∠2．
（1）若BC=20，求AE的长；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3=∠2，求证：AB=BF+DF．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质，得到AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，证明△AEB≌△CDG，得到AE=CG，利用G为BC中点，即可解答；
（2）作辅助线，延长DF，BE，相交于点H，证明四边形EBGD为平行四边形，得到BE∥DG，得到∠H=∠2，因为∠3=∠2，得到∠H=∠3，利用等角对等边，得到FH=BF，再证△AEB≌△DEH，得到AB=DH，即可解答．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=20，AB=CD，∠A=∠C，
在△AEB和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CD}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDG（ASA），
∴AE=CG，
∵G为BC中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=10；

（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=$\frac{1}{2}$AD，BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，
∴∠H=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠H=∠3，
∴BF=FH，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠1，
在△AEB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠H}\\{∠AEB=∠DEH}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEH（AAS），
∴AB=DH，
∴AB=DH=FH+DF=BF+DF．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．