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如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D,E为垂足,DF⊥AB于F,且AB>AC,求证:BF=AC+AF.


证明:过D作DN⊥AC,垂足为N,连接DB、DC,
则DN=DF(角平分线性质),DB=DC(线段垂直平分线性质),
又∵DF⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DFB=∠DNC=90°,
在Rt△DBF和Rt△DCN中

∴Rt△DBF≌Rt△DCN(HL)
∴BF=CN,
在Rt△DFA和Rt△DNA中

∴Rt△DFA≌Rt△DNA(HL)
∴AN=AF,
∴BF=AC+AN=AC+AF,
即BF=AF+AC.
分析:过D作DN⊥AC,垂足为N,连接DB、DC,推出DN=DF,DB=DC,根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN,推出BF=CN,根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA,推出AN=AF即可.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,线段的垂直平分线定理,角平分线性质等知识点,会添加适当的辅助线,会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键.
练习册系列答案
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25、如图,△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N,请在BC边上找一点P,使得△PMN的周长最短. (写出作法,保留作图痕迹)

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(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DEMN是矩形,请说明理由.

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如图,△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D,若AC=6cm,AB=4cm,则△ADB的周长=
10
10
cm.

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如图:△ABC的边AB的垂直平分线分别交BC、AB于M、N,△ACM的周长为10cm,AN=4cm.则△ABC的周长是(  )cm.

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(1)画出AB边上的高CE;
(2)求CE的长.

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