【题目】如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)BC=;.
【解析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°.
(2)利用已知条件证得△AGC∽△ABF,利用比例式求得线段的长即可.
(1)证明:连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴∠1=∠CAB.
∵∠CBF=∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:过点C作CG⊥AB于G.
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,
∴sin∠1=,
∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=ABsin∠1=,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2,
∴sin∠2===,cos∠2===,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴=.
∴BF==.
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【题目】如图,海中有一小岛P,在距小岛P的海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AC为对角线,延长CD至点E使CE=CA,连接AE。F为AB上一点,且BF=DE,连接FC.
(1)若DE=1,CF=2,求CD的长。
(2)如图2,点G为线段AE的中点,连接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=600,求证:AF+CE=AC.
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【题目】如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=(x>0)的图象经过点A,若△BEC的面积为6,则k等于( )
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
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【题目】(10分)已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.
试探究下列问题:
(1)如图1,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”),不需要证明)
(2)如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,在(2)的基础上,连接AE和BF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.
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【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,动点P从B点出发,沿B→C→D→A匀速运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,图象如图2所示.
(1)当点P运动的路程x=4时,△ABP的面积为y= ;
(2)求:线段AB的长;
(3)求:梯形ABCD的面积是多少?
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【题目】某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示:
测验类别 | 平时测验 | 期中测验 | 期末测验 | ||
第1次 | 第2次 | 第3次 | |||
成绩 | 100 | 106 | 106 | 105 | 110 |
(1)该同学上学期5次测验成绩的众数为 ,中位数为 ;
(2)该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ;
(3)该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2:3:5的比例计算所得,求该同学上学期数学学科的总评成绩(结果保留整数)。
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【题目】学生参加植树造林,甲班每天比乙班多植5棵树,甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等,求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是 ( )
A.设甲班每天植树x棵,则B.设乙班每天植树x棵,则
C.设甲班在x天植树80棵,则D.设乙班在x天植树70棵,则
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【题目】如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE,BE分别交于点G、H.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BCAD=AE2;④S△ABC=2S△ADF.其中正确结论的序号是_____.(把你认为正确结论的序号都填上)
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