Question

16．如图1，直线AB：y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于A、D两点，点B的横坐标为3．点C（9，0），连接BC，点E是y轴正半轴上一点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在x轴上的点D₁处．
（1）求点E的坐标；
（2）连接EC，点F（m，0），G（m+2，0）为x轴上两点，其中3＜m＜7．过点F作FF₁⊥x轴交BC于点F₁，交EC于点M过点G作GG₁⊥x轴交BC于点G₁，交EC于点N，当F₁M+G₁N=10时，求m的值；
（3）如图2，在等边△PQR中，PR⊥x轴且PR=4（点Q、R在x轴上方）．△PQR从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动的时间为t，当t为何值时，点Q到直线AC和直线AB的距离相等？

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B，D的坐标，进而得出得出AD=10，再由折叠得出OD₁=4，最后用勾股定理即可得出结论；
（2）先确定出直线CE，BC解析式，进而得出点F₁，M，G₁，N的坐标即可得出F₁M，G₁N，最后建立方程即可得出结论；
（3）先确定出点Q到直线AC的距离，进而得出NQ'=2，再由运动得出QQ'的长度，最后用NQ'=2建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵直线AB：y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于A、D两点，点B的横坐标为3．
∴A（-6，0），B（3，12），D（0，8），
∴AD=10，
∵将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在x轴上的点D₁处．
∴ED₁=ED，AD₁=AD=10，
∴OD₁=AD₁-OA=4，
∵OD=8，∴ED₁=OD-OE=8-OE，
在Rt△OD₁E中，D₁E²-OE²=OD₁²，
∴（8-OE）²-OE²=16，
∴OE=3，
∴E（0，3）；
（2）由（1）知，E（0，3），
∵C（9，0），
∴直线CE解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3，
∵B（3，12），C（9，0），
∴直线BC的解析式为y=-2x+18；
点F（m，0），G（m+2，0）为x轴上两点，其中3＜m＜7．FF₁⊥x，GG₁⊥x轴，
∴F₁（m，-2m+18），M（m，-$\frac{1}{3}$m+3），G₁（m+2，-2m+16），N（m+2，-$\frac{1}{3}$（m+2）+3），
∴F₁M=-2m+18-[-$\frac{1}{3}$m+3]=-$\frac{5}{3}$m+15，G₁N=-2m+16-[-$\frac{1}{3}$（m+2）+3]=-$\frac{5}{3}$m+$\frac{41}{3}$，
∵F₁M+G₁N=10，
∴-$\frac{5}{3}$m+15+（-$\frac{5}{3}$m+$\frac{41}{3}$）=10，
∴m=$\frac{56}{5}$，
（3）如图2，过点Q作QM⊥AC于M，过点Q作QN∥x轴，
∵△PCQ为边长为4等边三角形，
∴PQ=4，∠RCQ=60°，
∵PR⊥x轴，
∴∠RPA=90°，
∴∠MPQ=30°，
在Rt△PQM中，CQ=4，
∴QM=2，CM=2$\sqrt{3}$，
∴Q（9-2$\sqrt{3}$，2），
∵点Q到AB的距离为2，即：NQ'=2，
∵直线AB解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴N（-$\frac{9}{2}$，2），
由运动知，QQ'=2t，
∴Q'（9-2$\sqrt{3}$-2t，2），
∴Q'N=|9-2$\sqrt{3}$-2t|=2，
∴t=$\frac{7-2\sqrt{3}}{2}$或t=$\frac{11-2\sqrt{3}}{2}$，
∴当t为$\frac{7-2\sqrt{3}}{2}$或$\frac{11-2\sqrt{3}}{2}$，时，点Q到直线AC和直线AB的距离相等．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特征，折叠的性质，平行于坐标轴的两点的距离的求法，运动问题，确定出平行于坐标轴上两点的距离是解本题关键．