如图.在边长为4的正方形ABCD中.点P在AB上从A向B运动.连结DP交AC于点Q．(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时.都有△ADQ≌△ABQ,(2)当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$时.求DQ的长,(3)若点P从点A运动到点B.再继续在BC上运动到点C.在整个运动过程中.当点P运动到什么位置时.△ADQ恰为等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$时，求DQ的长；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

分析（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，利用“边角边”证明△ADQ≌△ABQ即可；
（2）过点Q作QE⊥AD于E，利用△ABQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$求出QE，进而求出DE最后用勾股定理即可；
（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．
①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．

解答（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°
又 AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ
即无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ

（2）如图1，

作 QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ≌△ABQ，
∴S_△ADQ=S_△ABQ
∵△ABQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$
∴$\frac{1}{2}$AD×QE=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD}=$\frac{8}{3}$，
∴QE=$\frac{4}{3}$
又∵QE⊥AD，∠DAQ=45°
∴∠AQE=∠DAQ=45°
∴AE=QE=$\frac{4}{3}$
∴DE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$
∴在Rt△DEQ中，QE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{8}{3}$，
根据勾股定理得，DQ=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当点P运动到与点B重合时，由正方形知QD=QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图4，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ，
∵AD∥BC
∴∠ADQ=∠CPQ．
又∵∠AQD=∠CQP，∠ADQ=∠AQD，
∴∠CQP=∠CPQ．
∴CQ=CP=x．
∵AC=4$\sqrt{2}$，AQ=AD=4．
∴x=CQ=AC-AQ=4$\sqrt{2}$-4．
即当CP=4$\sqrt{2}$-4时，△ADQ是等腰三角形．

点评本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，（3）需要分类讨论．

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