Question

1．如图1中的矩形ABCD，AD=3，DC=4，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿着AB方向平移，得到图2，其中A′D交AC于点E，A′C′交BC于点F．

（1）在图2中，除△ABC与△A′DC′外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母），并选择其中一对加以证明；
（2）设AA′=x．
①当x为何值时，四边形A′ECF是菱形？
②设四边形A′ECF的面积为y，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；
（2）①设A′E=a，A′F=b，根据相似三角形的性质用x表示出a、b，根据菱形的判定定理列出方程，解方程即可；
②根据三角形的面积公式求出y关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．

解答 解：（1）△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，
∴AA′=CC′，
∵AB∥CD，
∴∠BA′F=∠C′，
由题意得，∠BA′F=∠A，
∴∠A=∠C′，
在△AA′E和△C′CF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C′}\\{AA′=C′C}\\{∠AA′E=∠C′CF}\end{array}\right.$，
∴△AA′E≌△C′CF；
（2）①设A′E=a，A′F=b，
∵A′F∥AC，
∴$\frac{A′F}{AC}$=$\frac{BA′}{BA}$，即$\frac{b}{5}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得，b=$\frac{20-5x}{4}$，
同理$\frac{a}{3}$=$\frac{x}{4}$，
解得，a=$\frac{3}{4}$x，
当A′E=A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴$\frac{20-5x}{4}$=$\frac{3}{4}$x，
解得，x=$\frac{5}{2}$，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，四边形A′ECF是菱形；
②由①得，四边形A′ECF的面积为y=3×（4-x）-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{4}$x）×（4-x）×2=-$\frac{3}{4}$x²+3x=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴当x=2时，y的最大值为3．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定以及二次函数的最值的求法，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．