Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+(k-1)x-k(k＞0)与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（2，3）；（2）△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）；（3）存在，k=时，使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切．

【解析】

（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）设直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切的切点为Q，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时不存在．

解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2-1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
当x=-1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2-1），

如答图1所示，过点P作PF//y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+．当x=时，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，

则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==． 令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1． ∴C（﹣k，0），OC=k．

（Ⅰ）设直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切的切点为Q，如答图2所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，

∴=，即=解得：k=±，∵k＞0，∴k=．

∴存在实数k使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切，

此时k=．

（Ⅱ）若直线AB过点C时，此时直线与以OC为直径的圆要相切，必有AB⊥x轴，

而直线AB的解析式为y=kx+1，∴不可能相切．

综上所述，k=时，使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切．