Question

如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．
（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）是否存在点D，使AE=AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠BAC=45°，再求出∠CAE=45°，从而得到∠B=∠CAE，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠BCD，再求出∠DCE=90°，从而得解；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠AEF=∠AFE=67.5°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE=22.5°，然后求出∠ADC=67.5°，利用三角形的内角和定理求出∠ACD=67.5°，从而得到∠ACD=∠ADC，根据等角对等边即可得到AD=AC．

解答：解：（1）△CDE是等腰直角三角形．理由如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE=90°-45°=45°，
∴∠B=∠CAE，
在△ACE和△BCD中，

AE=BD ∠B=∠CAE AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形；


（2）存在AD=1．理由如下：
∵AE=AF，∠CAE=45°，
∴∠AEF=∠AFE=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠ADE=90°-67.5°=22.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°，
在△ACD中，∠ACD=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC=1．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．