Question

19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{12}{5}$与两坐标轴分别交于A，B两点，OM⊥AB，垂足为点M．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求OM的长；
（3）存在直线l上的点P，y轴上的点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，请求出所有符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上，点的坐标的特点即可得出点A，B坐标；
（2）利用三角形的面积公式建立方程即可得出OM，
（3）先判断出满足条件的两个三角形全等，只有∠OQP=90°，再分PQ=OM和OQ=OM两种情况讨论计算．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=$\frac{12}{5}$，
∴B（0，$\frac{12}{5}$）；
令y=0，
∴-$\frac{3}{4}$x+$\frac{12}{5}$=0，
∴x=$\frac{16}{5}$，
∴A（$\frac{16}{5}$，0）；
∴A（$\frac{16}{5}$，0），B（0，$\frac{12}{5}$）；
（2）由（1）知，A（$\frac{16}{5}$，0），B（0，$\frac{12}{5}$）；
∴OA=$\frac{16}{5}$，OB=$\frac{12}{5}$，AB=4，
∵OM⊥AB，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}OA×OB$=$\frac{1}{2}$AB×OM，
∴OM=$\frac{OA×OB}{AB}$=$\frac{48}{25}$；
（3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，
∴OP是公共边，在Rt△OMP中，OP为斜边，
∴∠OQP=90°，
∴PQ∥x轴，
∵以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，
∴PQ=OM或OQ=OM，
①当PQ=OM时，
∴PQ=OM=$\frac{48}{25}$，
∴P点横坐标为$\frac{48}{25}$或-$\frac{48}{25}$，
Ⅰ、当点P横坐标为$\frac{48}{25}$，
∴点P的纵坐标为：$\frac{24}{25}$，
∴P（$\frac{48}{25}$，$\frac{24}{25}$），
∴Q（0，$\frac{24}{25}$）．
Ⅱ、当点P横坐标为：-$\frac{48}{25}$，
∴点P的纵坐标为：$\frac{96}{25}$，
∴P（-$\frac{48}{25}$，$\frac{96}{25}$），
∴Q（0，$\frac{96}{25}$）．；
②当OQ=OM时，OQ=OM=$\frac{48}{25}$，
∴Q（0，$\frac{48}{25}$）或（0，-$\frac{48}{24}$）；
即：满足条件的点Q的坐标为（0，$\frac{24}{25}$）．或（0，$\frac{96}{25}$）．或（0，$\frac{48}{25}$）或（0，-$\frac{48}{24}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特征，三角形的面积公式，全等三角形的判定，解本题的关键是用方程的思想列出方程，是一道中等难度的中考常考题．