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如图,在平面直角坐标系中,M是x轴正半轴上一点,⊙M与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,A、M的坐标分别是(-1,0),(1,0)
(1)求C点坐标.
(2)如图,P是BC上的一个动点,Q为PC中点,直线BP、DQ交于点K,当点P在BC上运动时(不包括B、C两点)BK的长度是否发生变化?若变化,请指出其变化范围;若不变化,请求出其值.
分析:(1)连接CM,求出OM,CM,根据勾股定理求出OC即可;
(2)不发生变化,连接BD,BC,BQ,CQ,求出∠CQB=∠KQB,∠CBQ=∠KBQ,证△CQB≌△KQB,推出BK=BC,求出BC长即可.
解答:(1)解:连接OC,
∵A(-1,0),M(1,0),
∴OM=1,OA=2=OC,
∵∠MOC=90°,由勾股定理得:OC=
MC2-OM2
=
22-12
=
3

∴C的坐标是(0,
3
);

(2)解:当点P在BC上运动时(不包括B、C两点)BK的长度不发生变化,总是2
3

理由是:连接BD,BC,BQ,CQ,
∵Q为弧PC中点,
∴弧CQ=弧PQ,
∴∠CBQ=∠KBQ,
∵CD⊥AM,AM过圆心M,
∴弧AC=弧AD,弧BC=弧BD,
∴弧BD+弧CD=弧BC+弧CD,
∴∠CQB=∠QBD+∠QDB,
∵∠KQB=∠QDB+∠QBD,
∴∠CQB=∠KQB,
在△CQB和△KQB中,
∠CQB=∠KQB
BQ=BQ
∠CBQ=∠KBQ

∴△CQB≌△KQB(ASA),
∴BK=BC,
∵∠COB=90°,OC=
3
,BO=1+2=3,∴由勾股定理得:BC=
(
3
)2+32
=2
3

即不管P如何移动,BK的值不变,都等于2
3
点评:本题主要考查了垂径定理,全等三角形的性质和判定,圆周角定理,勾股定理,三角形的外角性质等知识点的应用,主要考查学生的推理能力,难点是如何作辅助线.
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BD
AB
=
5
8
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5
29
5
29

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5
5

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x
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k
x
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