Question

如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点， 且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为(     ) ．

A、45°　　B、47°　　C、49°  　　D、51°

Answer 1

C

试题分析：首先要求出∠3，∠4的度数，然后连接AC，利用角与角的和差关系求得∠ADC的度数．
∵AM⊥CD，AN⊥BC，∠MAN=74°，∠DBC=41°即∠4=41°，
∴四边形AMCN是圆内接四边形，
∴∠MAN+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠MAN=180°-74°=106°
∴∠3=180-∠2-∠BCD=180°-41°-106°=33°，
连接AC

∵M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC， 
∴AB=AC=AD，∠1=∠2，
∠1+∠4=∠ACB---①，
∠2+∠3=∠ACD----②
∠ACB+∠ACD=∠NCM=106°---③
由①②③得∠1+∠2+∠3+∠4=106°
∵∠1=∠2，∠4=41°，∠3=33°，
代入得：∠2=16°，
故∠ADC=∠2+∠3=16°+33°=49°．
故选C．
点评：作出辅助线后利用线段垂直平分线的性质，四边形及三角形的内角和定理解答是解答本题的关键．