Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AC的长是　　 ，AB的长是　 ．

（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．

（3）当t为何值，△BEF的面积是2？

Answer 1

【答案】（1）10；5；（2）EF与AD平行且相等．（3）3.

【解析】分析：(1)、根据含有30°角的直角三角形的性质以及BC的长度求出AC和AB的长度；(2)、根据运动的速度得出AE=DF，根据垂直得出AE∥DF，从而得出四边形AEFD为平行四边形，从而得出EF和AD的关系；(3)、根据运动的速度用含t的代数式表示BE和BF的长度，然后根据直角三角形的面积计算法则得出t的值．

详解：（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°， ∴AC=2AB，

根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2， ∴3AB2=75， ∴AB=5，AC=10；

（2）EF与AD平行且相等．

证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t， ∴DF=t． 又∵AE=t，

∴AE=DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF．

∴四边形AEFD为平行四边形． ∴EF与AD平行且相等．

（3）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°， ∴DF=CD， ∴CF=t，

又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5﹣t，

∴， 即：，

解得：t=3，t=7（不合题意舍去）， ∴t=3．

故当t=3时，△BEF的面积为2．