Question

（2012•沈河区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，D是

BC

的中点，DE为直径，EM⊥AB于M，EN⊥AC于N．
（1）求证：EM=EN；
（2）已知：AB=5cm，AC=3cm，求AN的长；
（3）在（2）的条件下，若DE平分AB，求sin∠DEM的值．

Answer 1

分析：（1）连BE、EC、AE，根据D是

BC

的中点，DE为直径，可得出点E是

BEC

的中点，所以

BE

=

CE

，再由四边形AEBC是圆内接四边形可得出∠EAN=∠CBE=∠BAE，根据AAS定理可知△AEM≌△AEN，故可得出结论；
（2））根据（1）中△AEM≌△AEN，得出EM=EN，AN=AM，故

BE

=

CE

，BE=CE，再由HL定力得出Rt△BME≌Rt△CNE，故BM=CN，即AB-AM=AB-AN=AC+AN，AN=

AB-AC

2

，由此即可得出结论；
（3））根据DE是直径可知当DE平分AB时，AB也是直径，故∠ACB=90°，设DE、BC交于点G，根据AAS定理得出△BOG≌△EOM，故∠ABC=∠DEM，sin∠DEM=sin∠ABC=

AC

AB

，由此即可得出结论．

解答：（1）证明：连BE、EC、AE，
∵D是

BC

的中点，DE为直径，
∴点E是

BEC

的中点，
∴

BE

=

CE

，
∵四边形AEBC是圆内接四边形，
∴∠EAN=∠CBE=∠BAE，
∵EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，
∴∠AME=∠ANE=90°，
在△AEM与△AEN中，

∠EAN=∠BAE ∠AME=∠ANE AE=AE

，
∴△AEM≌△AEN（AAS），
∴EM=EN；

（2）∵由（1）知△AEM≌△AEN，
∴EM=EN，AN=AM，
∵

BE

=

CE

，
∴BE=CE，
在Rt△BME与Rt△CNE中，

BE=CE EM=EN

，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴BM=CN，即AB-AM=AB-AN=AC+AN，
∴AN=

AB-AC

2

=

5-3

2

=1cm；

（3）∵DE是直径，
∴当DE平分AB时，AB也是直径，
∴∠ACB=90°，
设DE、BC交于点G，
在△BOG与△EOM中，

∠OGB=∠OME ∠BOG=∠EOM OE=OB

，
∴△BOG≌△EOM（AAS），
∴∠ABC=∠DEM，
∴sin∠DEM=sin∠ABC=

AC

AB

=

3

5

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，难度较大．