Question

已知如图，抛物线y=x²-x-1与y轴交于C点，以原点O为圆心，以OC为半径作⊙O，交x轴于A、B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y=x²-x-1上的一点，作PM⊥x轴于点M，求使△PMB∽△ADB时的P点坐标．

Answer 1

解：当x=0时，y=-1，
∴C的坐标是（0，-1），
∵以原点O为圆心，以OC为半径作⊙O，交x轴于A、B两点，交y轴于另一点D，
∴A（-1，0），B（1，0），D（0，1），
由勾股定理得：AD=BD=，
∵OA=OB=OD，
∴∠ADB=90°，
即△ADB是等腰直角三角形，
∵△PMB∽△ADB，
∴△PMB是等腰直角三角形，
∵∠PMB=90°，
∴PM=BM，
设P的坐标是（x，x²-x-1），B（1，0），
∴BM=|x-1|，
∴x-1=x²-x-1，-（x-1）=x²-x-1，
即x²-2x=0，x²=2，
解得：x₁=0，x₂=2，x₃=，x₄=-，
∴y₁=x²-x-1=-1，y₂=1，y₃=1-，y₄=1+，
∴P的坐标是（0，-1），（2，1），（，1-），（-，1+），
答：使△PMB∽△ADB时的P点坐标是（0，-1）或（2，1）或（，1-）或（-，1+）．
分析：求出C、A、B、D、的坐标，求出AD、BD的值，证出∠ADB=90°，得出△ADB是等腰直角三角形，推出△PMB是等腰直角三角形，设P的坐标是（x，x²-x-1），根据PM=BM求出x即可．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．