【题目】如图,矩形ABCD的边BC与x轴重合,连接对角线BD交y轴于点E,过点A作AG⊥BD于点G,直线GF交AD于点F,AB、OC的长分别是一元二次方程x-5x+6=0的两根(AB>OC),且tan∠ADB=.
(1)求点E、点G的坐标;
(2)直线GF分△AGD为△AGF与△DGF两个三角形,且S△AGF:S△DGF =3:1,求直线GF的解析式;
(3)点P在y轴上,在坐标平面内是否存在一点Q,使以点B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)E(0, ),G(, );(2);(3)存在Q1(-4, );Q2(4, );Q3(0,4);Q4(0,-1).
【解析】(1)根据一元二次方程x-5x+6=0的解、tan∠ADB=,可求出点E的坐标;由△BGH∽△BDC,利用相似三角形的性质可求出点G的坐标;
(2)根据G、F的坐标,利用待定系数法可求出直线GF的解析式;
(3)对BD是矩形的边还是矩形的对角线进行分类讨论即可.
解:(1)x-5x+6=0,解得x1=2;x2=3
∵AB>OC,
∴AB=3;OC=2
∵tan∠ADB=,
∴AD=BC=4;BD=5
∴OE=,∴E(0, )
∵AG⊥BD,则△ABG∽△ABD,
,即,BG=,
做GH⊥x轴,由△BGH∽△BDC,
∴G(, )
(2)∵S△AGF:S△DGF =3:1,
∴AF:DF=3:1,
∴DF=1 F(1,3)
设直线GF: ,
代入G(, ),F(1,3)
∴直线GF的解析式为:
(3)存在Q1(-4, );Q2(4, );Q3(0,4);Q4(0,-1)
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【题目】某租赁公司拥有汽车100辆.据统计,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的租金定为多少元时,租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
求证:(1)BD是⊙O的切线;(2)CE2=EH·EA.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点, =3,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证: ;
(2)若∠CGF=90°,求的值.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B﹦90°,AB﹦8cm,AD﹦24cm,BC﹦26cm,点p从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t s.
(1)t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?(等腰梯形的两腰相等,两底角相等)
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【题目】某商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双,它们的尺码与销售量如表所示:
鞋的尺码/cm | 23 | 23.5 | 24 | 24.5 | 25 |
销售量/双 | 2 | 3 | 3 | 5 | 2 |
则这15双鞋的尺码组成的数据中,中位数为( )
A.23.5cmB.24cmC.24.5cmD.25cm
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