Question

在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线l：y=-

1

5

x+5与y轴交于点C，与矩形OABC的边AB交于点D
（Ⅰ）求线段OC的长；
（Ⅱ）沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，并且EA=1．
①求点D，点E的坐标；
②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为M，试求M的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（Ⅰ）根据直线l的解析式，令x=0，求出x的值，即可得到OC的长；
（Ⅱ）①根据翻折的性质可得DE=BD，设AD=x，表示出DE，然后利用勾股定理列出方程求解得到AD的长，根据同角的余角相等求出∠ADE=∠OAC，然后利用锐角三角函数求出AO的长，从而写出点D的坐标；过点E作EF⊥OA于F，利用∠OAC的正弦和余弦求出EF、AF，再求出OF，即可得到点E的坐标；
②过点P作PM⊥OM于M，交BC于N，作PH⊥AB于H，设CN=m，表示出PN、PH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PN为点P到AC的距离，PH为点P到DE的距离，然后根据直线与圆相切和相交的关系列出不等式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=0，则y=5，
所以，OC=5；

（Ⅱ）①∵沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，
∴DE=BD，
设AD=x，则DE=BD=AB-AD=5-x，
在Rt△ADE中，DE²+EA²=AD²，
即（5-x）²+1²=x²，
解得x=

13

5

，
∴BD=DE=5-

13

5

=

12

5

，
∵∠ADE+∠DAE=∠OAC+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠OAC，
∴tan∠ADE=tan∠OAC，
∴

OC

AO

=

EA

DE

，
即

5

AO

=

1

12 5

，
解得AO=12，
∴点D的坐标为（12，

13

5

）；
过点E作EF⊥OA于F，
则EF=EA•sin∠ADE=1×

1

13 5

=

5

13

，
AF=EA•cos∠ADE=1×

12 5

13 5

=

12

13

，
∴OF=12-

12

13

=

144

13

，
∴点E的坐标为（

144

13

，

5

13

）；

②如图，过点P作PM⊥OM于M，交BC于N，作PH⊥AB于H，
设CN=m，
则PN=CN•tan∠BCD=m•

12 5

12

=

1

5

m，
PH=12-m，
∵⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，
∴PN＞PH，
∴

1

5

m＞12-m，
解得m＞10，
∵点P在线段CD上，
∴m≤12，
∴m的取值范围是10＜m≤12．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换的性质，勾股定理，利用三角函数解直角三角形，直线与圆的位置关系，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，（Ⅱ）②把点P到AC、DE的距离转化为到BC、AB的距离是解题的关键．