已知关于x的二次函数y=x2+x+k2-1.且关于x的方程x2+x+k2-1=0的两根的平方和等于9．(1)求函数的解析式．(2)设这个二次函数的图象与x轴从左至右分别交于AB两点.在图7所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象.点M是位于对称轴右侧函数图象上的一点.且锐角△AMB的面积的等于3.求点M的坐标．的条件下.过点M及点E的直线与抛物线交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知关于x的二次函数y=x²+（2k-1）x+k²-1，且关于x的方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的两根的平方和等于9．
（1）求函数的解析式．
（2）设这个二次函数的图象与x轴从左至右分别交于AB两点，在图7所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象，点M是位于对称轴右侧函数图象上的一点，且锐角△AMB的面积的等于3，求点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，过点M及点E（$\frac{8}{3}$，0）的直线与抛物线交于点P，求证：△AMP是直角三角形，并求△AMP的面积．

分析（1）利用根的判别式△≥0，求出k的取值范围，再利用根与系数的关系即可得出k的值，从而求出二次函数的解析式；
（2）根据（1）中所求解析式，求出A，B两点的坐标，利用配方法求出二次函数的顶点坐标与对称轴，画出图象；设M（x_m，y_m），根据△AMB的面积等于3，列出关于y_m的方程，解方程求出y_m的值，再求出x_m的值，即可确定M的坐标；
（3）由M（2，-2），E（$\frac{8}{3}$，0），利用待定系数法求出直线ME的解析式，再与二次函数解析式联立组成方程组，求出P点坐标，根据勾股定理逆定理可证明△AMP是直角三角形，进而求出△AMP的面积．

解答解：（1）∵关于x的方程x²+（2k-1）x+k²-1=0有两个根，
∴根的判别式△≥0，
即（2k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得k≤$\frac{5}{4}$；
设方程的两个根分别为x₁、x₂，
则x₁²+x₂²=9，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²-1，
分别代入上式，得[-（2k-1）]²-2（k²-1）=9，
解得k₁=-1或k₂=3，
∵k≤$\frac{5}{4}$，
∴k=-1．
∴函数的解析式为y=x²-3x；

（2）∵y=x²-3x，
∴令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴A（0，0），B（3，0）．
∵y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
即抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
大致图象如图1所示；
如图2，设M（x_m，y_m）是位于对称轴右侧函数图象上的一点，且锐角△AMB的面积等于3，则$\frac{3}{2}$＜x_m＜3，y_m＜0．
∵S_△AMB=$\frac{1}{2}$•AB•|y_m|=$\frac{1}{2}$×3×|y_m|=3，
∴|y_m|=2，y_m=±2，舍去正值，
∴y_m=-2，
当y_m=-2时，x_m²-3x_m=-2，
解得x_m=1或x_m=2，
∵$\frac{3}{2}$＜x_m＜3，
∴x_m=1舍去，
∴x_m=2满足条件，
∴这样的点存在，其坐标为M（2，-2）；

（3）如图3，设直线ME的解析式为y=ax+b，
∵M（2，-2），E（$\frac{8}{3}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-2}\\{\frac{8}{3}a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直线ME的解析式为y=3x-8．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-8}\\{y={x}^{2}-3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴P（4，4）．
∵A（0，0），M（2，-2），
∴AP²=4²+4²=32，AM²=2²+2²=8，MP²=（4-2）²+（4+2）²=40，
∴AP²+AM²=MP²，
∴△AMP是直角三角形，∠PAM=90°，
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}$•AP•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{32}$×$\sqrt{8}$=8．

点评此题是二次函数的综合题，考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，直线与抛物线交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．正确求出二次函数的解析式是解题的关键．

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