Question

（1）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD．

（2）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
①求∠EBC的度数；
②求证：BD=CD．

Answer 1

分析：（1）首先依题意证明△ABC≌△ADC继而求得AB=AD．
（2）①∠EBC的度数等于∠ABC-∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．
②在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．

解答：（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC．
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ADC．
在△ABC和△ADC中，
∵

∠BAC=∠DAC ∠ABC=∠ADC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
∴AB=AD；

（2）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°．

②证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD．

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．同时也考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用．