Question

【题目】如图，抛物线L1：y＝－x2－2x＋3交x轴于A，B两点，交y轴于M点抛物线L1向右平移2个单位得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．

(1)求抛物线L2对应的函数表达式；

(2)抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A，B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）存在，N(2，3)，N′(－2，3);（3）点Q不在抛物线L2上．

【解析】

(1)由于是平移，所以抛物线的开口方向和开口大小不变，先求出L1与x轴的交点，再求出L2与x轴的交点，即可求出抛物线L2的解析式；

(2)因为是平移，根据平移的性质，连接各组对应点的线段平行且相等，故存在符合条件的点N,即可求得N点坐标；

(3)先设出L1上的点（x1，y1），进而求得关于原点的对称点（-x1，-y1），再将（-x1，-y1）代入函数L2的解析式，成立则在图像上，不成立则不在图像上．

解：(1)令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，

　 ∴x1＝－3，x2＝1，

　 ∴A(－3，0)，B(1，0) ，

　∵抛物线L1向右平移2个单位得抛物线L2，

　 ∴C(－1，0)，D(3，0)，a＝－1，

　 ∴抛物线L2为y＝－(x＋1)(x－3) ．

　 即y＝－x2＋2x＋3．

(2)存在；令x＝0，得y＝3，

∴M(0，3),

　∵抛物线L2是L1向右平移2个单位得到的，

　∴点N(2，3)在L2上，且MN＝2，MN∥AC，

又∵AC＝2，

∴MN＝AC，

∴四边形ACNM为平行四边形．

同理，L1上的点N′(－2，3)满足N′M∥AC，N′M＝AC，

　∴四边形ACMN′是平行四边形．

∴N(2，3)或N′(－2，3)即为所求．

(3)设P(x1，y1)是L1上任意一点(y1≠0)，

则点P关于原点的对称点Q(－x1，－y1)，

且，

将点Q的横坐标代入L2，

得：

∴点Q不在抛物线L2上．