Question

3．求根式$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}}$的值．

Answer 1

分析 设$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}}$=t＞0，两边平方得出方程2+t=t²，求出方程的解，即可得出答案．

解答 解：设$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}}$=t＞0，
两边平方得：2+$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}}$=t²，
即2+t=t²，
解得：t=2或-1，
∵t＞0，
∴t=2，
即$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}}$=2．

点评 本题考查了解一元二次方程和二次根式的性质的应用，能求出方程2+t=t²是解此题的关键．