Question

如图（1），直角梯形OABC中，∠A=90°，AB∥CO，且AB=2，OA=2，∠BCO=60°．
（1）求证：△OBC为等边三角形；
（2）如图（2），OH⊥BC于点H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围；
（3）设PQ与OB交于点M，当OM=PM时，求t的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAB中，AB=2，OA=2，
∴OB===4，
∴∠AOB=30°，∠ABO=60°，
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠ABO=60°，
而∠BCO=60°，
∴△OBC为等边三角形；

（2）∵OH⊥BC，
∴∠COH=30°，OH=BC=×4=2，
∴∠QOP=60°，OP=2-t，
而OQ=t，
∴S=•OQ•OP•sin∠QOP
=•t（2-t）•
=-t²+t（0＜t＜2）；

（3）∵OM=PM，
∴∠MOP=∠MPO=30°，
而∠QOP=60°
∴∠PQO=90°，
∴OP=2OQ，即2-t=2t，
∴t=．
分析：（1）利用勾股定理求出OB，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOB=30°，∠ABO=60°，则∠BOC=∠ABO=60°，在△OBC中有两60°的角，根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质易得∠COH=30°，OH=BC=2，则∠QOP=60°，OP=2-t，利用三角形的面积公式得到S=•OQ•OP•sin∠QOP，代值即可得到S=-t²+t（0＜t＜2）；
（3）由OM=PM得到∠MOP=∠MPO=30°，则∠PQO=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=2OQ，即2-t=2t，解方程即可．
点评：本题考查了直角梯形的性质：上下底平行，有一底角为90°；也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．