Question

【题目】如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线（如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H．

①求证：AG⊥CE；

②如果，AD＝2，DG＝，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）AG＝CE成立；（2）①详见解析；②5

【解析】

（1）利用正方形性质以及全等三角形的判定的很粗△AGD≌△CED（SAS）即可得出答案；

（2）①根据（1）得出∠1＝∠2，再利用∠3＝∠4，∠4+∠2＝90°，可得出∠3+∠1＝90°，进而得出答案；

②利用等腰直角三角形的性质可得出MD＝MG＝ ，进而利用勾股定理求出CE的长．

（1）解：AG＝CE成立．

理由：∵四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，

∴GD＝DE，AD＝DC，

∠GDE＝∠ADC＝90°，

∴∠GDA＝90°﹣∠ADE＝∠EDC，

在△AGD和△CED中，

∴△AGD≌△CED（SAS），

∴AG＝CE；

（2）证明：①由（1）可知△AGD≌△CED，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，∠4+∠2＝90°，

∴∠3+∠1＝90°，

∴∠APH＝90°，

∴AG⊥CH；

②解：过G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB＝∠GDM＝45°，

∴∠DGM＝45°，

∵DG＝，

∴MD＝MG＝，

在Rt△AMG中，由勾股定理，得

∴CE＝AG＝5．