Question

6．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第n个四边形的周长为$4{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质以及勾股定理，先求出第一个、第二个、第三个四边形边长，从而发现规律，即可求出第n个四边形边长及周长．

解答 解：∵第一个四边形的边长为：$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，周长为4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
第二个四边形的边长为：$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，周长为4×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
第三个四边形的边长为：$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，周长是：4×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，
…
∴第n个四边形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，周长为4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，
故答案为：4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查了正方形的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理求出每个四边形的边长，得出规律是解题关键．