Question

如图，△OAB中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（2，2），点P从点A出发，沿A→B→O的方向以每秒个单位匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以每秒2个单位匀速运动，当点P到达点O时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．
（2）设△OPQ的面积为S（平方单位），求当点P在AB上运动时，S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（3）当点P沿A→B→O的方向运动时，试问：是否存在点P使∠OPQ=90°？如果存在，请求出相应的时间t；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过B作BE⊥OA于E
∵B（2，2），则BE=OE=2
由勾股定理得：OB=2
∵A（4，0），∴AE=2
由勾股定理得，AB=2
∴OB=AB
∴△ABO为等腰三角形
∴OB²=8，AB²=8，OA²=16
∴OB²+AB²=OA²
∴△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°；

（2）过点P作PC⊥OA于点C，
∴PC=AC
在Rt△PCA中，AP=t由勾股定理得
AC²+PC²=AP²
∴AC=t
∴OC=4-t
∵OQ=2+2t
∴S=（4-t）（2+2t）
即S=-t²+3t+4 （0≤t≤4）；

（3）分类讨论：
①当点P在AB上运动t秒时，则∠OPQ=90°作PF⊥OA于F．
∴∠OFP=90°
∴∠AOP+∠OPF=90°
∵∠AOP+∠QOP=90°
∴∠OPF=∠QOP
∴△PFO∽△OPQ
∴
∵PA=，∴PF=AF=t，OQ=2+2t
∴OF=4-t，由勾股定理得
OP=
∴t²+（4-t）²=t²+（2+2t）²
解得t=1.6．
②当点P运动t秒在OB上时，则∠OPQ=90°则△OQP是等腰直角三角形．（t＞2）
∴OP=PQ
∵OP＜2
∴OP+PQ＜4
∵OQ=2+2t （t＞2）
∴2+2t＞4
∴两边之和小于第三边，此三角形不存在．
综上所述t=1.6．
分析：（1）要求∠BAO的度数，由点B、点A的坐标很容易证明出△OAP是等腰直角三角形，故求出∠BAO的度数．
（2）要表示出△OPQ的面积为S于时间t的关系式的关键是表示出OQ边上的高，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可以表示出来，最后利用三角形的面积公式列出等式就可以了．
（3）是一道分类讨论试题，当P点在AB上时存在满足条件的P点．当点P在OB上时，满足条件的点不存在，利用三角形的三边关系可以证明．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的运用以及等腰三角形的性质．还涉及到了三角形三边关系的运用，是一道综合性较强难度较大的试题．