分析 (1)由矩形的性质得出∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°,CD=AB=4,BC=AD=5,证出∠APE=90°,由HL证明Rt△APE≌Rt△ADE,得出对应边相等即可;
(2)设EP=DE=x,则CE=4-x,由勾股定理求出BP,得出CP,在Rt△PCE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
解答 (1)证明:连接AE,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°,CD=AB=4,BC=AD=5,
∴∠BAP+∠1=90°,
∵∠BAP=∠EPC,
∴∠EPC+∠1=90°,
∴∠APE=90°,
∴∠APE=∠D,
在Rt△APE和Rt△ADE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{PE=DE}\end{array}\right.$,
∴Rt△APE≌Rt△ADE(HL),
∴PA=AD;
(2)解:设EP=DE=x,则CE=4-x,
由(1)得:PA=AD=5,
∴BP=$\sqrt{P{A}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3,
∴CP=BC-BP=2,
在Rt△PCE中,由勾股定理得:CP2+CE2=EP2,
即22+(4-x)2=x2,
解得:x=2.5,
即EP的长为2.5.
点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键.
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