Question

6．如图1，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）MN与⊙O的位置关系为相切；
（2）在图1中，设D是$\widehat{AC}$的中点，连结BD交AC于点G，过D作DE⊥AB于E，交AC于点F得到了图2．求证：FD=FG；
（3）在图2中，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer 1

分析 （1）利用切线的判定方法结合圆周角定理得出∠MAC+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°即可得出答案；
（2）首先得出∠DBC+∠CGB=90°，再利用∠FDG+∠DBA=90°，得出∠FDG=∠CGB=∠FGD，即可得答案；
（3）首先得出△FGH∽△BGC，则$\frac{{S}_{△FGH}}{{S}_{△BCG}}$=$（\frac{HG}{CG}）^{2}$，进而求出即可．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴MN与⊙O相切；
故答案为：相切；

（2）证明：∵D是$\widehat{AC}$的中点，∴∠DBC=∠DBA，
∵AB是直径，
∴∠DBC+∠CGB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠DBA=90°，
∵∠DBC=∠DBA，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴DF=FG；

（3）解：如图，过点F作FH⊥DG于H，
∵DF=FG，DG=3，
∴GH=$\frac{1}{2}$DG=1.5，
∴S_△FGH=$\frac{1}{2}$S_△DFG=$\frac{1}{2}×$4.5=$\frac{9}{4}$，
∵AB是直径，FH⊥DG，
∴∠C=∠FHG=90°，
∵∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC，
∴$\frac{{S}_{△FGH}}{{S}_{△BCG}}$=$（\frac{HG}{CG}）^{2}$=（$\frac{1.5}{4}$）²=$\frac{9}{64}$，
∴S_△BCG=$\frac{9}{4}$×$\frac{64}{9}$=16．

点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△FGH∽△BGC是解题关键．