Question

（2013•丹阳市二模）如图，已知抛物线y=

5

16

x2-

5

16

(b+2)x+

5

8

b（b为＞2的实数）与x轴的正半轴分别交于点A、D（点A位于点D的左侧），与y轴的正半轴交于点B．
（1）点A的坐标为

（2，0）

，点D的坐标为

（b，0）

（用含b的代数式表示）；
（2）当b=8时，求出点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为OD中点，BC∥OD，CE⊥OD于点E．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点O，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿O-B-C-E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B-C-E-D的方向运动，到点D停止．设运动时间为ts，△POQ的面积为scm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
①当t=2s时，s=

2

cm²；当t=

9

2

s时，s=

9

cm²；
②当5≤t≤14时，求s与t之间的函数关系式；
③当动点P在线段BC上运动时，求出s=

4

15

S_梯形OBCD时t的值．

Answer 1

分析：（1）

5

16

x²-

5

16

（b+2）x+

5

8

b=0，解方程求得x的值，即可得到点A、点D的坐标；
（2）将b=8，x=0代入y=

5

16

x2-

5

16

(b+2)x+

5

8

b，求得y的值，即可得到点B的坐标；
（3）①根据三角形的面积公式可得当t=2s时，s的值；当t=

9

2

s时，s的值；
②分当5≤t≤9时；当9＜t≤13时；当13＜t≤14时；三种情况讨论可得s与t之间的函数关系式；
③根据s=

4

15

S_梯形OBCD，可得关于t的方程，解方程即可得到t的值．

解答：解：（1）

5

16

x²-

5

16

（b+2）x+

5

8

b=0，
（x-2）（x-b）=0，
解得x₁=2，x₂=b，
则点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（b，0）；

（2）将b=8，x=0代入y=

5

16

x2-

5

16

(b+2)x+

5

8

b，得
y=0-0+

5

8

×8=5，
则点B的坐标（0，5）；

（3）①2×2÷2=2（cm²），

9

2

×4÷2=9（cm²），
故当t=2s时，s=2cm²；当t=

9

2

s时，s=9cm²；  

②
当5≤t≤9时，s=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

y1+y2

2

（5+t-4）×4-

1

2

×5（t-5）-

1

2

（9-t）（t-4），
即s=

1

2

t2-7t+

65

2

当9＜t≤13时，s=

1

2

（t-9+4）（14-t），
即s=-

1

2

t2+

19

2

t-35
当13＜t≤14时，s=

1

2

×8（14-t）=-4t+56，
即s=-4t+56；                                         

③当动点P在线段BC上运动时，
∵s=

4

15

S_梯形oBCD=

4

15

×

1

2

（4+8）×5=8s=

1

2

t2-7t+

65

2

=8
即t²-14t+49=0，
解得t₁=t₂=7，
∴当t=7时，s=

4

15

S_梯形oBCD．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：与x轴、y轴的交点坐标的特点，代入法的运用，三角形的面积计算，分类讨论思想的运用，综合性较强．