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(2012•泉州)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A、B),过点P的直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线,简记为P(lx)(x为自然数).
(1)如图①,∠A=90°,∠B=∠C,当BP=2PA时,P(l1)、P(l2)都是过点P的△ABC的相似线(其中l1⊥BC,l2∥AC),此外,还有
1
1
条;
(2)如图②,∠C=90°,∠B=30°,当
BP
BA
=
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
3
4
时,P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的
1
4

分析:(1)过点P作l3∥BC交AC于Q,则△APQ∽△ABC,l3是第3条相似线;
(2)按照相似线的定义,找出所有符合条件的相似线.总共有4条,注意不要遗漏.
解答:解:(1)存在另外 1 条相似线.
如图1所示,过点P作l3∥BC交AC于Q,则△APQ∽△ABC;
故答案为:1;

(2)设P(lx)截得的三角形面积为S,S=
1
4
S△ABC,则相似比为1:2.
如图2所示,共有4条相似线:
①第1条l1,此时P为斜边AB中点,l1∥AC,∴
BP
BA
=
1
2

②第2条l2,此时P为斜边AB中点,l2∥BC,∴
BP
BA
=
1
2

③第3条l3,此时BP与BC为对应边,且
BP
BC
=
1
2
,∴
BP
BA
=
BP
BC
cos30°
=
3
4

④第4条l4,此时AP与AC为对应边,且
AP
AC
=
1
2
,∴
AP
AB
=
AP
AC
sin30°
=
1
4
,∴
BP
BA
=
3
4

故答案为:
1
2
3
4
3
4
点评:本题引入“相似线”的新定义,考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算;难点在于找出所有的相似线,不要遗漏.
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2
2

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2
2
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30
30
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