Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为4+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C，进而判断出A'C是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理即可．

解答 解：如图，
连接CC'，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC'是等边三角形，
∴BC=C'C，
∵A'B=A'C'，
∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC'=3，
在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，
∴CD=BC•cos∠CBD=6×cos60°=3$\sqrt{3}$，
∴A'C=A'D+CD=4+3$\sqrt{3}$
故答案为：4+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，主要考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．