【题目】等腰三角形中,是的角平分线,点在射线上,,若,线段的长度为_______.
【答案】8或4
【解析】
先根据题意画图.再BC上取一点F使BF=AE,连接DF,易证△DBF≌△DEA.从而得到AD=DF.然后再利用三角形外角性质定理,通过等量代换证明∠DFC=∠C,则可得DF=FC,从而将求AD转化为求FC.将已知线段长度代入,可求出AD的长度.
解:如图,在BC上取点F,使BF=AE,连接DF,
∵DB=DE,AB=AC
∴∠2=∠E,∠ABC=∠C
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
在△DBF与△DEA中
,
∴△DBF≌△DEA(SAS)
∴∠BDF=∠4,AD=DF
∵∠BDC=∠2+∠3,∠3=∠E+∠4
∴∠BDC=∠2+∠E+∠4
∴∠FDC=∠BDC-∠BDF=∠2+∠E+∠4-∠4=∠2+∠E=∠2+∠1=∠ABC
∴∠FDC=∠C
∴DF=CF
∵BC=6,BF=AE=2
∴CF=BC-BF=6-2=4
∴AD=DF=4;
当点E在AB上,在BC延长线上取点F,使BF=AE=2,连接DF
∵DE=DB,
∴∠DEB=∠DBE=∠DBC,
∴∠DBF=∠DEA,AE=BF,DB=DE
∴△AED≌△FBD(SAS)
∴AD=DF,∠A=∠F
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵∠A+∠C+∠ABC=180°,且∠F+∠C+∠FDC=180°
∴∠ABC=∠FDC
∴∠FDC=∠C
∴DF=FC=BF+BC=8
∴AD=8;
故答案为:4或8.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线分别与x轴,y轴交于点,点C是第一象限内的一点,且,抛物线经过两点,与x轴的另一交点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)如图1,A是⊙O上一动点,P是⊙O外一点,在图中作出PA最小时的点A.
(2)如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以点C为圆心的⊙C的半径是3.6,Q是⊙C上一动点,在线段AB上确定点P的位置,使PQ的长最小,并求出其最小值.
(3)如图3,矩形ABCD中,AB=6,BC=9,以D为圆心,3为半径作⊙D,E为⊙D上一动点,连接AE,以AE为直角边作Rt△AEF,∠EAF=90°,tan∠AEF=,试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由.
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【题目】已知:如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于AB两点,与y轴相交于点C,若A(﹣1,0),且OC=3OA.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在图1中,若点M为抛物线上第四象限内一动点,顺次连接AC,CM,MB,求四边形ACMB面积的最大值;
(3)在图2中,将直线BC沿x轴翻折交y轴于点N,过点B的直线与抛物线相交于点D.若∠NBD=∠OCA,请直接写出点D的坐标.
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【题目】某爱心组织筹集了部分资金,计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区,已知每件甲物品的价格比每件乙物品额价格贵10元,用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同.
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格是多少元?
(2)经调查,灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍,若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品,需筹集资金多少元?
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【题目】是直径,分别是上下半圆上一点,且弧弧,连接,连接交于,
(1)如图(1)求证:;
(2)如图(2)是弧一点,点分别是弧和弧的中点,连接,连接分别交,于两点,求证:
(3)如图(3)在(2)问条件下,交于,交于,过点作交于,连接,若的面积等于,求线段的长度
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【题目】“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是( ).
A. B.
C. D.
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【题目】为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽查了该学校九年级部分同学,对其每周平均课外阅读时间进行统计,绘制了如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)该校抽查九年级学生的人数为 ,图①中的a值为 ;
(2)求统计的这组数据的众数、中位数和平均数.
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【题目】已知二次函数的部分图象如图所示,则下列结论:
①关于的一元二次方程的根是,3;
②函数的解析式是;
③;
其中正确的是_______(填写正确结论的序号)
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