Question

4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=4$\sqrt{2}$，AC=4，BD=12，点P是线段AD上的动点（不包含端点A、D），过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F
（1）求△AOB的面积；
（2）设PE=x，PF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）AP=$\frac{1}{4}$AD，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OB，进而判断出，△AOB是直角三角形，即：∠BAC=90°，即可求出面积；
（2）利用平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的四个三角形，和S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP即可建立方程求解即可；
（3）方法1、先利用平行四边形的对边平行求出PE利用（2）的结论即可．
方法2、利用同高的两三角形的面积比等于底的比求出△ODP的面积，最后用此三角形的面积公式建立方程即可．

解答 解：（1）在?ABCD中，AC=4，BD=12，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，
∵AB²+OA²=32+4=36，OB²=36，
∴AB²+OA²=OB²，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB×OA=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×2=4$\sqrt{2}$．
∵AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，
∴S_△AOD=S_△AOB=4$\sqrt{2}$，
∵点P作PE⊥AC，PF⊥BD，
∴S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$×2x+$\frac{1}{2}$×6y=4$\sqrt{2}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
（3）方法1、∵AB⊥AC，PE⊥AC，
∴PE∥AB∥CD，
∴$\frac{PE}{CD}=\frac{AP}{AD}=\frac{\frac{1}{4}AD}{AD}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{PE}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{4}$，
∴x=PE=$\sqrt{2}$，
由（2）知，y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=-$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．
即PF=$\sqrt{2}$．
方法2、如图，

连接OP，∵AP=$\frac{1}{4}$AD，
∴DP=$\frac{3}{4}$AD，
由同高的两三角形的面积的比等于底的比得，$\frac{{S}_{△ODP}}{{S}_{△AOD}}=\frac{\frac{3}{4}AD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∵S_△AOD=S_△AOB=4$\sqrt{2}$，
∴S_△ODP=$\frac{3}{4}$×4$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∵S_△ODP=$\frac{1}{2}$OD×PF，
∴PF=$\frac{2{S}_{△ODP}}{OD}$=$\frac{2×3\sqrt{2}}{6}$=$\sqrt{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积的计算方法，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是∠BAC=90°．