Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．

（1）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；

（2）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．

①求DE的长；

②证明：BF⊥CE．

（3）如图③，将（2）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3）

【解析】

（1）如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．解直角三角形求出DG，OG即可．

（2）①利用勾股定理求出即可．

②证明△ABD≌△ACE（SAS），可得结论．

（3）证明△OPN是等腰直角三角形，求出OP的取值范围，求出△OPN的面积的最小值以及最大值即可．

解：（1）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠ABO＝45°．

∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．

如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．

在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，

∴，

∴．

∴点D的坐标为．

（2）①如图②中，

∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，

∴在中，．

②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，

∴∠BAC＝90°，

∵△ABD旋转得到△ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△BFC中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，

∴BF⊥CE．

（3）如图③中，

∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，

∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1

∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，

∴OP⊥PN，OP＝PN，

∴△OPN是等腰直角三角形，

∵AB＝4，AD1＝2，

∴4﹣2≤BD1≤4+2，

∴2﹣1≤OP≤2+1，

∴△OPN面积的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面积的最大值＝+2，

∴．