Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，

（1）求证：△BEF是直角三角形；

（2）求证：△BEF∽△BCA；

（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．

(2)根据两角对应相等两三角形相似证明．

(3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=BD=m，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=，由△BEF∽△BCA，推出，由此构建方程求解即可.

（1）证明：由折叠可知，∠ADB=∠ACB=90°

∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，

∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°，

∴∠BEF=90°，

∴△BEF是直角三角形．

(2) 证明：∵BC=BD，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠EFB=∠EDB，

∴∠EFB=∠BCD，

∵AC=AD，BC=BD，

∴AB⊥CD，

∴∠AMC=90°，

∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°，

∴∠BCD=∠CAB，

∴∠BFE=∠CAB，

∵∠ACB=∠FEB=90°，

∴△BEF∽△BCA．

(3) 设EF交AB于J．连接AE，如下图所示：

∵EF与AB互相平分，

∴四边形AFBE是平行四边形，

∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD，

∵BD⊥AD，

∴EF∥BD，

∵AJ=JB，

∴AF=DF，

∴ FJ=

∴ EF=

∵ △ABC∽△CBM

∴ BC:MB=AB:BC

∴ BM=，

∵ △BEJ∽△BME，

∴ BE:BM=BJ:BE

∴ BE=，

∵ △BEF∽△BCA，

∴

即

解得(负根舍去).

故答案为：