Question

如图：四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，AD=a（a＞0），BC=8，AD、BC间的距离为2

3

，有一边长为2的等边△EFG，在四边形ABCD内作任意运动，在运动过程中始终保持EF∥BC．记△EFG在四边形ABCD内部运动过程中“能够扫到的部分”的面积为S．
（1）如图①所示，当a=8时，△EFG在四边形ABCD内部运动过程中“能够扫到的部分”即为六边形HIBCJK，则S=

 

；
（2）如图②所示，当a=10时，求S的值；
（3）如图③所示，当a=2时，求S的值．

Answer 1

分析：（1）过G作GH⊥EF于H，求出等边三角形GEF的高GH，关键面积公式求出即可；
（2）过点B、E分别作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K，作AD的中点H，BC的中点I，求出平行四边形ABCD的面积和三角形AGE的面积，代入求出即可；
（3）过点A、G分别作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J，作AD的中点H，BC的中点I，求出平行四边形ABCD和三角形BGE的面积，代入即可求出答案．

解答：（1）解：
过G作GH⊥EF于H，
∵等边三角形GEF，
∴EH=HF=1，
由勾股定理得：GH=

GE2-EH2

=

3

，
S=S_矩形ABCD-2S_△AIH=8×2

3

-2×

1

2

×1×

3

=15

3

，
故答案为：15

3

．

（2）解：将△EFG移到四边形ABCD的左上角（图1），
则△AEG为△EFG无法扫到的一部分，
此时，由于AD、BC的距离为2

3

，△EFG的高为

3

，
易得点E恰好是AB的中点，
过点B、E分别作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K，作AD的中点H，BC的中点I，
∵S四边形ABCD=

1

2

×(10+8)×2

3

=18

3

，
∵AD=10，BC=8∴AH=5，BI=4，
∴AK=AH-BI=1，
∵E是线段AB的中点，EJ⊥AD，BK⊥AD，
∴AJ=

1

2

AK=

1

2

，
∵∠JEG=30°，
∴JG=

1

2

GE=1，
∴AG=AJ+JG=

3

2

，
∴S△AGE=

1

2

×AG×JE=

1

2

×

3

2

×

3

=

3 3

4

，
∴△EFG无法扫到的部分的总面积为2S△AGE=

3 3

2

，
∴S=S四边形ABCD-2S△AGE=

33 3

2

，
答：S的值是

33 3

2

．

（3）解：将△EFG移到四边形ABCD的左下角（图2），
则△BEG为△EFG无法扫到的一部分，
此时，由于AD、BC的距离为2

3

，△EFG的高为

3

，
易得点G恰好是AB的中点，
过点A、G分别作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J，作AD的中点H，BC的中点I
∵S四边形ABCD=

1

2

×(2+8)×2

3

=10

3

，
∵AD=2，BC=8，
∴AH=1，BI=4，
∴BK=BI-AH=3，
∵G是线段AB的中点，AK⊥BC，GJ⊥BC，
∴BJ=

1

2

BK=

3

2

，
∵∠JGE=30°，
∴JE=

1

2

GE=1，
∴BE=BJ-EJ=

1

2

，
∴S△BGE=

1

2

×BE×JG=

1

2

×

1

2

×

3

=

3

4

，
∴△EFG无法扫到的部分的总面积为2S△BGE=

3

2

，
∴S=S四边形ABCD-2S△BGE=

19 3

2

，
答：S的值是

19 3

2

．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．