Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵XY是⊙O的切线，
∴∠1=∠2．
∵BD∥XY，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．
∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD．

（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB．
∴，
∴AC•CE=BC²
即AC•（AC-AE）=BC²．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴6（6-AE）=16．
∴AE=（cm）．
分析：（1）已有∠ABD=∠ACD，AB=AC，需证∠BAC=∠DAC即可．∠BAC=∠BDC=∠DCY=∠DAC．
（2）证明△BCE与△ABC相似，可建立已知和未知之间的关系求解．
点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质和三角形的全等，综合性较强，难度中等偏上．