Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作CH⊥x轴于H，根据直角三角形的性质（CH=

1

2

AC），求出∠ACH的度数即可；
（2）根据勾股定理求出AH和BH，根据C的坐标求出A、B的坐标即可；
（3）根据抛物线的顶点坐标设抛物线的顶点式，把B的坐标代入求出a即可；
（4）假设存在，根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形，求出D的坐标，把D的坐标代入抛物线的解析式，左边=右边，即得出D在抛物线上，即可得出答案．

解答：解：（1）作CH⊥x轴于H，
∵CH=1，半径CB=2，
∴∠BCH=60°，
即∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半径CB=2，
∴HB=

3

，
∴A的坐标是（1-

3

，0），B的坐标是（1+

3

，0）．

（3）设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+3，
把点B（1+

3

，0）代入上式，解得：a=-1，
∴y=-1（x-1）²+3=-x²+2x+2，
即抛物线的解析式是y=-x²+2x+2．

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，
则四边形OCPD是平行四边形，
∴PC∥OD，PC=OD，
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上，
∵PC=2，
∴OD=2，
即D（0，2），
又D（0，2）满足y=-x²+2x+2，
∴点D在抛物线上，
∴存在D点，使线段OP与CD互相平分，且点D的坐标是（0，2）．

点评：本题综合考查对平行四边形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，用待定系数法求二次函数的解析式，垂径定理等知识点，本题综合性较强，通过做题培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．