Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，过点C作直线MN∥AB，点P为直线MN上的一动点（不与C点重合），∠PAB的平分线交BC于E． 设CP=x，AP=y．
（1）若PA与线段BC交于点D，且CP=1，求CD的长；
（2）若△ABE为等腰三角形，求y关于x的函数关系式；
（3）若PA与线段BC交于点D，△AEP是直角三角形，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求BC，再根据平行相似得比例式$\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{BD}$，得CD=$\frac{2}{3}$；
（2）延长AE交MN于F，构建相似三角形，设AE=BE=a，利用勾股定理列等式求出AE和CE的长，作辅助线EG，根据计算EG的长与EC的长作对比可知：P不在射线CN上，则当P在射线CM上时，通过证明△CFE∽△BAE得比例式$\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}$，并将各线段的值代入得出y关于x的函数关系式；
（3）当△AEP是直角三角形时，分两种情况讨论：①当∠AEP=90°时，作AG⊥MN于G，证明△CEF≌△BEA得CF=AB，即y+x=5；根据△ACG∽△BAC，得AG=$\frac{12}{5}$，CG=$\frac{9}{5}$，FG=$\frac{34}{5}$；再利用勾股定理求出结论；
②当∠APE=90°时，作EH⊥AB于H，证明△PDE∽△CDA和△CDP∽△ADE，求出AH=$\frac{5}{2}$，则AP=AH=$\frac{5}{2}$，由
y=-x+$\frac{7}{5}$求出x的值并取舍；最后写出结论．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4
（1）∵MN∥AB，
∴△CPD∽△ABD，
∴$\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{BD}$
∵CP=1，AB=5，BC=4，
∴$\frac{1}{5}=\frac{CD}{4-CD}$，解得CD=$\frac{2}{3}$；
（2）过E作EG⊥AB于G，如图1，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∴AG=BG，
tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}=\frac{EG}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
设EG=3x，则AG=BG=4x，
∴8x=5，
x=$\frac{5}{8}$，
∴EG=3×$\frac{5}{8}$=$\frac{15}{8}$，
延长AE交MN于F，如图2，
∵MN∥AB，
∴∠PFA=∠FAB．
∵∠PAE=∠FAB，
∴∠PAE=∠PFA，
∴PF=PA=y．
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE=BE．设AE=BE=a，则CE=4-a．
∵AE²=AC²+CE²，
∴a²=3²+（4-a）²，解得a=$\frac{25}{8}$，即BE=$\frac{25}{8}$，CE=$\frac{7}{8}$，
∵MN∥AB，
∴△CFE∽△BAE，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}$．
∵AC⊥EC，EC=$\frac{7}{8}$$＜\frac{15}{8}$，
∴当P不可能在射线CN上，
∴当P在射线CM上时（如图2），CF=y-x，
∴$\frac{y-x}{5}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{25}{8}}$，y=x+$\frac{7}{5}$；
（3）如图3，连结PE．
①当∠AEP=90°时，作AG⊥MN于G，
∵PA=PF，
∴AE=EF，
又∠CEF=∠BEA，∠CFE=∠BAE，
∴△CEF≌△BEA，
∴CF=AB，即y+x=5，
∵△ACG∽△BAC，
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{CG}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AG}{4}=\frac{CG}{3}=\frac{3}{5}$，
∴AG=$\frac{12}{5}$，CG=$\frac{9}{5}$，FG=$\frac{34}{5}$，
∵AG²+PG²=AP²，
∴$（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{34}{5}-y）^{2}={y}^{2}$，
解得y=$\frac{65}{17}$，
∴x=5-y=$\frac{20}{17}$，即CP=$\frac{20}{17}$；
②如图4，当∠APE=90°时，作EH⊥AB于H，
∵∠APE=∠ACD，∠PDE=∠CDA，
∴△PDE∽△CDA，
∴$\frac{PD}{DE}=\frac{CD}{AD}$，
又∠CDP=∠ADE，
∴△CDP∽△ADE，
∴∠PCD=∠PAE，
∵∠PCD=∠B，∠PAE=∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
同（2）中①，得y=-x+$\frac{7}{5}$，而y=AP=AH=$\frac{5}{2}$，
∴CP=x=$\frac{7}{5}$-$\frac{5}{2}$＜0，舍去；
综上所述，△AEP是直角三角形时，CP=$\frac{20}{17}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了相似三角形、等腰三角形和勾股定理的性质和应用，利用相似三角形的比例式及勾股定理列等式求边长；如果一个三角形是直角三角形，不确定哪一个角是直角的情况下要采取分类讨论的方法解决．