Question

如图，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A做AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由∠CAB=30°，BC=5，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AC的长，再由CB与EA都与AB垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到AE与BC平行，根据两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEP与三角形PBC相似，由相似得比例，将AE与BC的长代入，得到PA与PC的比值，再利用合比性质变形后，将AC的长代入即可求出PA的长；
（2）BE与圆O相切，理由为：在直角三角形ABE中，根据锐角三角函数定义由AE比AB得到tan∠ABE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠ABE的度数，再由已知的∠PAB的度数，根据三角形的内角和定理求出∠APB为90°，可得出EB与AP垂直，即EB为圆O的切线，得证．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，
∴AC=2BC=10，
∵CB⊥AB，EA⊥AB，
∴AE∥BC，
∴∠E=∠PBC，∠EAP=∠C，
∴△APE～△CPB，
又BC=5，AE=15，
∴

PA

PC

=

AE

BC

=3，
∴

PA

AC

=

PA

PC+PA

=

3

1+3

=

3

4

，
∴PA=

3

4

AC=

3

4

×10=

15

2

；

（2）BE与⊙A相切，理由如下：
∵在Rt△ABE中，AB=5

3

，AE=15，
∴tan∠ABE=

AE

AB

=

15

5 3

=

3

，
∴∠ABE=60°，…（9分）
又∵∠PAB=30°，
∴∠ABE+∠PAB=90°，即∠APB=90°，
∴BE与⊙A相切．．

点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数定义，以及含30°直角三角形的性质，其中证明切线的方法有两种：有点连接圆心与此点，证明垂直得切线；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．