已知.Rt△OAB的两直角边OA.OB分别在x轴和y轴上.如图1.A.B坐标分别为.将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD.连接AC.BD交于点E．(1)求证:△ABE≌△DCE．(2)M为直线BD上动点.N为x轴上的点.若以A.C.M.N四点为顶点的四边形是平行四边形.求出所有符合条件的M点的坐标．(3)如图2.过E点作y轴的平行线交x轴于点F.在直线EF上找一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（-2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE≌△DCE．
（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．
（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．

分析（1）由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得∠AEB=90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB=CD，可证得△ABE≌△DCE；
（2）由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标；
（3）由AE=DE可知A、D关于EF对称，连接CD交EF于点P，则P点即为满足条件的点，由C、D坐标可求得直线CD的解析式，则可求得P点坐标，利用勾股定理可分别求得AC和CD的长，则可求得此时△PAC的周长．

解答解：
（1）∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，
∴OC=OA=2，OD=OB=4，AB=CD，
∴∠ACO=∠ACE=∠CBE=45°，
∴∠CEB=90°，
∴∠AEB=∠CED，且CE=BE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BE=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；
（2）由（1）可知D（4，0），且B（0，4），
∴直线BD解析式为y=-x+4，
当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，
∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，
∴M点的纵坐标为2，
在y=-x+4中，令y=2可得x=2，
∴M（2，2）；
当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为-2，
在y=-x+4中，令y=-2可求得x=6，
∴M点的坐标为（6，-2）；
综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，-2）；
（3）由（1）可知AE=CE，
∴A、D关于直线EF对称，
连接CD交EF于点P，则PA=PD，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∴满足△PAC的周长最小，
∵C（0，2），D（4，0），
∴可设直线CD解析式为y=kx+2，
∴4k+2=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线CD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵A（-2，0），D（4，0），
∴F（1，0），即直线EF解析式为x=1，
在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令x=1可得y=$\frac{3}{2}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$），
在Rt△AOC中，由勾股定理可求得AC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△COD中，由勾股定理可求得CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PA+PC+AC=CD+AC=2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，
即△PAC的周长最小值为2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识．在（1）中证得∠AEB=90°是解题的关键，在（2）中求得M点的纵坐标是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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