Question

（A类7分）如图1，在矩形ABCD中，AF=DE． BE与CF相等吗？如果相等请说明理由．
（B类8分）如图2，在?ABCD中，AE=CF．四边形BFDE是平行四边形吗？如果是请说明理由．
（C类9分）如图3，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交BC于D，且CF=BE．试说明四边形BFCE是菱形．

Answer 1

分析：图（1）只要证出△ABE≌△DCF就可以了，由于四边形ABCD是矩形，所以已经具备两个条件，再利用已知条件AE=DE，等量加等量和相等，可以得到另外一个条件，利用SAS可证三角形全等；
图（2）因为四边形ABCD是平行四边形，那么就有AD∥BC，且AD=BC．结合已知条件，利用等量减等量差相等，可得到DE=BF．再结合DE∥BF，即可证．
图（3）因为EF是BC的垂直平分线，所以BC⊥EF，且CE=BE．又因为CF=BE，故CF=CE．所以BC也是EF的垂直平分线，那么四边形BECF是菱形．

解答：解：BE与CF相等（1分）
在矩形ABCD中?∠A=∠D=90°，AB=DC． （3分）
AF=DE?AE=DF．（4分）
在△BAE和△CDF中，

AB=CD ∠A=∠D AE=DF

（5分）
?△BAE≌△CDF．（6分）
?BE=CF．（7分）
（B类8分）解：四边形BFDE是平行四边形（2分）
在?ABCD中?AD∥BC，AD=BC．（4分）
AE=CF?ED=BF．（5分）
?四边形BFDE是平行四边形．（8分）
（C类9分）解：EF是BC的垂直平分线?FC=FB，EB=EC．（4分）
又CF=BE?FC=CE=EB=BF．（7分）
?四边形BECF是菱形．（9分）
（其它解法，只要正确即可参照本标准给分）

点评：本题利用了矩形的性质，全等三角形的判定，以及平行四边形的判定，线段垂直平分线的判定和性质以及菱形的判定等知识．