Question

平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1）．
（1）如图1，若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有几个？
（2）过A、B向直线l：y=-2x作垂线，垂足分别为M，N（如图2），试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）过A、B向动直线l：y=kx（k＞0）作垂线，垂足分别为M，N，请直接写出线段AM、BN、MN之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点M，同理以A为圆心，以AB为半径交x轴于Q、E，作AB的垂直平分线交x轴于F，则可得出答案；
（2）根据AAS证△AOM≌△OBN即可；
（3）①当k＞1时，AM=BN+MN，②当k=1时，AM=BN，MN=0，当0＜k＜1时，BN=AM+MN，证△BON和△AOM全等即可．

解答：解 （1）当AB为腰时，有3个，
以AB为底时，有1个，
共4个．   

（2）解：AM+BN=MN．
由已知可得 OA=OB，∠AOM=90°-∠BON=∠OBN，
在△AOM和△OBN中

∠AOM=∠OBN ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴Rt△AOM≌Rt△OBN，
∴AM=ON，OM=BN，
∴AM+BN=ON+OM=MN．      
                    
（3）解：①当k＞1时，AM=BN+MN，
∵∠AOB=∠BNO=∠AMO=90°，
∴∠BON+∠AON=90°，∠AON+∠OAM=90°，
∴∠BON=∠OAM，
在△AOM和△OBN中

∠BNO=∠AMO ∠BON=∠MAO OA=OB

，
∴△AOM≌△OBN，
∴BN=OM，ON=AM，
∴AM=BN+MN．

②当k=1时，AM=BN，MN=0．
③同理：当0＜k＜1时，BN=AM+MN．     

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，两条直线相交或平行问题等知识点，本题主要用了分类讨论思想，题型较好．