如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=12cm,点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动,同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动,运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DF⊥BC于点F.
(1)试用含t 的式子表示AE、AD的长;
(2)如图①,在D、E运动的过程中,四边形AEFD是平行四边形,请说明理由;
(3)连接DE,当t为何值时,△DEF为直角三角形?
(4)如图②,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,试问当t为何值时,四边形 AEA′D为菱形?并判断此时点A是否在BC上?请说明理由.
图① 图②
解:(1)AE=t AD=12-2t
(2)∵ DF⊥BC,∠C=30°
∴ DF=CD=×2t = t
∵ AE =t
∴ DF= AE
∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC
∴ DF∥AE
∴ 四边形AEFD是平行四边形;
(3)①显然 ∠DFE < 90°;
②如图(1),当∠EDF = 90°时,四边形EBFD为矩形,
此时 AE =AD ∴ ∴
③如图(2),当∠DEF = 90°时,此时∠ADE = 90°
∴∠AED = 90°-∠A=30°
∴AD =AE ∴
∴
综上:当秒或秒时,⊿DEF为直角三角形;
(4)
图(3)
如图(3),若四边形AEA′D为菱形,则AE=AD
∴t=12-2t
∴t=4
∴当t=4时,四边形AEA′D为菱形
设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中,∠BEG=180°-∠AEG=60°
∴GE=2BE
∵BE=AB-AE=6-4=2
∴GE=4=EA′
∴点G与点A′重合
∴点A在BC上
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