如图.在平面直角坐标系中.O为原点.已知A(2.0).C(1.33).将△OAC绕AC的中点E旋转180°.点O落到点B的位置.抛物线y=ax2-23x经过点A.点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式,(2)判断点B是否在抛物线上,(3)若点P是x轴上A点左边的一个动点.当以P.A.D为顶点的三角形与△OAB相似时.求出点P的坐标,(4)若点M是y轴上的一个动点.要使△MAD的周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•临汾二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3

），将△OAC绕AC的中点E旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2

x经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；
（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．

分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可得解；
（2）先判断出四边形OABC是平行四边形，然后求出BC∥OA，BC=AO，再根据点A、C的坐标求出点B的横坐标与纵坐标，然后把点B的坐标代入抛物线进行验证即可；
（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，根据抛物线解析式求出点D的坐标，然后解直角三角形求出∠BOE=∠DAF=60°，然后求出OA、AD、AB，再分①∠APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，分别利用相似三角形对应边成比例列式求出AP的长，再求出OP，然后写出点P的坐标即可；
（4）根据轴对称确定最短路线问题，确定出点A关于y轴的对称点A′的坐标，然后求出直线A′D与y轴的交点即为所求的点M．

解答：解：（1）将A（2，0）代入y=ax²-2

x得，
4a-4

=0，
解得a=

，
∴抛物线的解析式为y=

x²-2

x；

（2）由旋转知，四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3

），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3

，
∴B（3，3

），
将B（3，3

）代入y=

x²-2

x得，

×3²-2

×3=3

，
∴点B在抛物线上；

（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
由y=

x²-2

（x-1）²-

得顶点D（1，-

），
∵B（3，3

），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE=

，
tan∠DAF=

2-1

，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB=

32+(3

=6，
AD=

(2-1)2+(

=2，
∴△APD和△OAB相似分如下两种情况：
①APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，
∴

，
即

，
解得AP=

，

∴OP=OA-AP=2-

，
∴点P的坐标为（

，0）；
②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，
∴

，
即

，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴点P的坐标为（-4，0），
综上所述，点P（

，0）或（-4，0）；

（4）点A（2，0）关于y轴的对称点A′坐标为（-2，0），
根据轴对称确定最短路线，直线A′D与y轴的交点即为使△MAD的周长最小的点M的位置，
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=0

k+b=-

，
解得

k=-

b=-

，
∴直线A′D的解析式为y=-

，
x=0时，y=-

，
∴点M的坐标为（0，-

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，抛物线上点的坐标特征，相似三角形的性质，以及利用轴对称确定最短路线问题，（3）分情况讨论是难点．

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