Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（c，a）均在第一象限，且c=$\sqrt{5a}$•$\sqrt{\frac{4a}{5}}$-$\sqrt{9{b}^{2}}$（b＜a＜3b）
（1）直接写出点B的坐标（用含a、b的式子表示）；
（2）如图1，连接AO、BO，若∠AOB=45°（b＜a＜3b）．
①求证：AB=2a-2b；
②若a-b=2$\sqrt{3}$-2，请求出此时点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用二次根式的混合运算法则，求出c即可；
（2）①如图1中，作BE⊥y轴于E，AF⊥x轴于F，EB的延长线交FA的延长线于M．首先证明四边形OEMF是正方形，将△OEB绕点O顺时针旋转90°得到△OFG，只要证明△OAB≌△OAG，即可推出AB=AG，由AG=AF+FG=AF+BE，推出AB=BE+AF=2a-3b+b=2a-2b；
②由OF=OE=a，AF=b，a-b=2$\sqrt{3}$-2，推出OF=FM=a=2$\sqrt{3}$-2+b=AF+AM，推出AM=2$\sqrt{3}$-2，AB=2（a-b）=4$\sqrt{3}$-4，在Rt△ABM中，BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}-4）^{2}-（2\sqrt{3}-2）^{2}}$=6-2$\sqrt{3}$，由EM=FM，可知EB+EM=AM+AF，推出4$\sqrt{3}$-4-b+6-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-2+b，推出b=2，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵c=$\sqrt{5a}$•$\sqrt{\frac{4a}{5}}$-$\sqrt{9{b}^{2}}$，a＞0，b＞0，
∴C=$\sqrt{4{a}^{2}}$-$\sqrt{9{b}^{2}}$=2a-3b，
∴B（2a-3b，a）．

（2）①如图1中，作BE⊥y轴于E，AF⊥x轴于F，EB的延长线交FA的延长线于M．

∵∠MEO=∠MFO=∠EOF=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵B（2a-3b，a），A（a，b），
∴OE=OF=a，
∴四边形OEMF是正方形，将△OEB绕点O顺时针旋转90°得到△OFG，
∵∠AOB=45°，
∴∠EOB+∠AOF=45°，
∴∠AOG=∠AOF+∠FOG=45°，
∴∠AOB=∠AOG=45°，∵OA=OA，OB=OG，
∴△OAB≌△OAG，
∴AB=AG，
∵AG=AF+FG=AF+BE，
∴AB=BE+AF=2a-3b+b=2a-2b．

②∵OF=OE=a，AF=b，a-b=2$\sqrt{3}$-2，
∴OF=FM=a=2$\sqrt{3}$-2+b=AF+AM，
∴AM=2$\sqrt{3}$-2，AB=2（a-b）=4$\sqrt{3}$-4，
在Rt△ABM中，BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}-4）^{2}-（2\sqrt{3}-2）^{2}}$=6-2$\sqrt{3}$，
∵EM=FM，
∴EB+EM=AM+AF，
∴4$\sqrt{3}$-4-b+6-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-2+b，
∴b=2，
∴OF=2$\sqrt{3}$-2+2=2$\sqrt{3}$，
∴A（2$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查三角形综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考压轴题．