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2.如图,已知正比例函数y=$\frac{4}{3}$x和反比例函数的图象交于点A(m,-4)和点D
(1)求反比例函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围;
(3)若双曲线上C(4,n)沿OA方向平移5个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状并证明你的结论.

分析 (1)把已知的交点的坐标代入正比例函数解析式,即可求得A的坐标,然后利用待定系数法即可求解;
(2)根据图象和A、B的横坐标即可得出答案.
(3)首先求出OA的长度,结合题意CB∥OA且CB=5,判断出四边形OABC是平行四边形,再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状.

解答 解:(1)∵点A(m,-4)是正比例函数y=$\frac{4}{3}$x的点,
则有-4=$\frac{4}{3}$m,
∴m=-3.
∴A(-3,-4),
∵反比例函数的图象交于点A,
∴-4=$\frac{k}{-3}$,
∴k=12.
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$;
(2)∵交点D和点A(-3,-4)关于原点对称,
∴D(3,4),
由图象可知:使正比例函数的值大于反比例函数的值的自变量x的取值范围是:-3<x<0或x>3.
(3)四边形OABC是菱形.
证明:∵A(-3,-4),
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
由题意知:CB∥OA且CB=5,
∴CB=OA,
∴四边形OABC是平行四边形,
∵C(4,n)在y=$\frac{12}{x}$上,
∴n=3,
∴C(4,3),
OC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5,
∴OC=OA,
∴四边形OABC是菱形.

点评 本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,函数的图象和性质,解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理,此题难度不大,是一道不错的中考试题.

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